Wiener過程をこれから勉強したいって話

こんにちは
この記事は、Aizu Advent Calendar 2014の20日目の記事です。

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多層パーセプトロンを実装してみた - Masaponto's Blog

投稿が遅れまして、申し訳ありませぬ。

この記事は、僕が確率過程を勉強するぞと言う宣言の記事です。
記事の中に、間違い等あったらバシバシつっこんでください。

背景

確率論、統計論的な記事を書きたいとか思ってたんですけど、当初やる予定だった記事を諸事情によりやめることにしたのと、新たなネタを得るための学習期間ってかなりかかってしまうと言う問題がありました。数学的な記事書くのには、きちんと理解しないといけないので。
じゃあ、これから勉強するぜ的な感じの記事でも書こうと言う結論に至りました。
こういうところに書いといたほうが、今後のモチベ等にもなりそうだしね。

なぜWiener過程か

興味があるから。
まあ、確率過程勉強したいなと思ってまして、確率過程の中で一番メジャーっぽいWiener過程をとりあえず理解しようという魂胆です。
あと、確率論そのものの理解を深めたいってのもあります。

概要 of Wiener過程

確率過程

何か不確定な要因持つ現象を、時系列で変化していく様子を数学的に記述したものを確率過程といいます。
確率過程は、物理学や経済学での応用が有るようです。例えば、粒子の動きや、株価の変動など。ちなみに、電話がかかってくる回数は、Poisson過程という確率過程でモデル化されるらしいです。このような物も数学的に解析されるってのは興味深いですよね。

Brown運動

確率過程の話から少しずれるのですが、Brown運動という物理的現象を先に説明します。

ものすごい小さい微粒子が、水や空気などの流体の中を動くときに、ランダムにごちゃごちゃと動くのですが、この運動をBrown運動と呼びます。(ブラウン運動 - Wikipedia)
ちなみに、水中での花粉の運動と説明されつことがありますが、これは誤りで、正確には花粉の中にある微粒子が水中でランダムに動く現象ですね。

Wiener過程

Wiener過程は、Brown運動の数理的なモデルであり、確率過程の一種です。数理モデルなので、Brown運動を正確に記述しているわけではありません。ただ、Brown運動はこのWiener過程を基に研究されています。
確率過程において、様々な性質が有るのですが、Wiener過程は、Markov性、自己相似性だとか定常性などの重要な性質をいくつも持っているのです。これも、Winer過程がよく知られている所以ですかね。
このへんの話題は、これから勉強していきますぞ。

今後

僕は、確率過程の講義を受けていたのですが、初期の方に可測の話をされてウワーッとなった覚えがあります。もっとも僕の大学は、測度論の講義が無いので、測度の話を厳密にはしませんでしたが。
やはり確率空間についての理解を深めるためには測度論をやるべきでしょう。
その後に、確率空間、確率密度、確率分布やら条件付き期待値などについて勉強すれば、確率過程と対等に渡り合える知識は得られると考えています。
そうして、Gauss過程やらLévy過程と共に、Wiener過程を勉強しまする。

今は、位相論の勉強をしています。測度論の理解の助けになると思いまして。